Essential Sorting Algorithms Explained

This article explores some of the most essential sorting algorithms in Datastructure!

题目

文章中排序算法均已经通过此题的OJ测试点！

题目描述

给你N个自然数，编程输出排序后的这N个数。

输入

第一行是整数的个数N（N<=100）。第二行是用空格隔开的N个数。

输出

排序输出N个数，每个数间用一个空格间隔。

样例输入

1 2	`5 9 6 8 7 5`

样例输出

1	`5 6 7 8 9`

图1 排序算法图

1.直接插入排序（Straight Insertion Sort）

核心思想

将待排数组分为“已排序”和“未排序”两个部分，R[0,1...i-1]前面序列是已经排好的有序区，R[i,...n]后面的序列是未排序的无序区，直接插入排序每次操作将当前无序区的首元素R[i]插入到有序区R[0,1...i-1]的适当位置，使得R[0,1...i]成为新的有序区，减小无序区,直至无序区为空，从而全部数据有序！

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
bool cmp(int a, int b) { return a < b; }
int main() {
    int N;
    cin >> N;
    vector<int> R;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int a;
        cin >> a;
        R.push_back(a);
    }
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        int temp = R[i];//用temp临时存储待排元素
        int j = i - 1;//让temp从i-1开始逐个向前比较
            while (j >= 0 && cmp(temp, R[j])) {
                R[j + 1] = R[j];
                j--;
            }
            R[j + 1] = temp;
    }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cout << R[i] << " ";
    }
    return 0;
}

这里将比较逻辑模块化：

1	`bool cmp(int a, int b) { return a > b; }`

若未来需要修改排序规则（降序排序）只需要将cmp函数中的>修改为<即可！

算法分析

直接插入排序由两重循环构成，对于具有n个元素的数组R，外循环要进行n-1趟排序（1到n-1），在每趟排序中，仅当待插入序列元素R[i]小于有序区尾元素时才进入内层循环，因此直接插入排序的时间性能与初始排序表相关。

比较次数
元素移动次数

最好情况分析：初始排序表正序，无需进入内层循环时间复杂度为O(n)
最坏情况分析：初始排序表反序，每次排序均需要进入内层循环进行i次比较，等差数列n(n-1)/2，时间复杂度为O(n^2)
平均情况分析：在每趟排序中，平均情况是将R[i]插入到有序区的中间位置R[0,1...i-1]，等差数列n(n-1)/4，时间复杂度为O(n^2)。

由于其平均时间性能接近最坏性能，所以是一种低效的排序方法。在该算法中只使用了i,j,temp三个辅助变量，与问题规模n无关，故空间复杂度为O(1)，是一个就地排序算法，同时相等时排序不变，是种稳定的排序算法。

2.折半插入排序（Binary Insertion Sort）

核心思想

在直接插入排序的基础上，用折半查找的方法找到无序区元素插入的位置。

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int N;
    cin >> N;
    vector<int> R; 
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int a;
        cin >> a;
        R.push_back(a); 
    }
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        int temp = R[i];
        int low = 0, high = i - 1;
        while (low <= high) {//退出循环时low=high+1
            int mid = (low + high) / 2;
            if (temp > R[mid]) {
                low = mid + 1;
            }
            else {
                high = mid - 1;
            }
        }
        for (int j = i - 1; j >= high + 1; j--) {  
            R[j + 1] = R[j];
        }
        R[high + 1] = temp;
    }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cout << R[i] << " ";
    }
    return 0;
}

算法分析

平均情况下时间复杂度为O(n^2),从时间复杂度来看，折半插入与直接插入排序相同，但是当元素数量较多时，折半查找优于顺序查找，减少了关键字比较的次数，所以折半插入排序优于直接插入排序。同时其空间复杂度为O(1)，也是种稳定的排序算法。

3.希尔排序（Shell Sort）

核心思想

希尔排序是一种采用分组插入排序的方法，先取一个小于n的整数${d}{1}$作为第一个增量，将全部元素R中所有相距为 ${d}{1}$的元素分成一组，在组内进行直接插入排序，然后取第二个增量 ${d}{2}$（${d}{2}$<${d}{1}$），重复上述的分组和排序，直至增量 ${d}{t}$=1，即所有的元素为一组，在进行一次直接插入排序，从而使得所有元素有序！
从理论上讲，增量序列的取值只要满足初始值小于n再递减并且最后等于1就可以了。最常见的是Shell增量序列，即取 ${d}{1}$=n/2，${d}{i+1}$=${d}{i}$/2，直到 ${d}{t}$=0为止！

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
	vector <int> R;
	int N;
	cin >> N;
	for (int i = 0;i < N;i++) {
		int a;
		cin >> a;
		R.push_back(a);
	}
	int d = N / 2;
	while (d != 0) {
		for (int i= d;i< N;i++) {
			int temp = R[i];
			int j = i;
			while (j >= d && R[j - d] > temp) {
				R[j] = R[j - d];
				j -= d;
			}
			R[j] = temp;
		}
		d /= 2;
	}
	for (int i = 0;i < N;i++) {
		cout << R[i] << " ";
	}
	return 0;
}

算法分析

由于希尔排序的增量序列不确定，算法的时间复杂度难以分析，我们一般认为其平均时间复杂度为O(n^1.58)，希尔排序通常要比直接插入排序快，在希尔排序中我们使用了i,j,temp,d四个辅助变量，与问题规模n无关，故算法空间复杂度为O(1)，也就是说是一种就地排序。但是希尔排序过程中相同元素的相对位置可能发生变化，因而是一种不稳定的排序算法。

4.快速排序（Quick Sort）

核心思想

在排序表中取一个元素为基准（一般是第一个），将基准归位（即将基准放在他最终的位置上），同时将所有小于基准的元素放到基准的前面（构成左子表），将所有大于基准的元素放到基准的后面（构成右子表），这个过程叫作划分。然后用递归的思想对左、右子表分别重复上述过程，直至每个子表只有一个元素或空为止。
快速排序每次仅将一个元素归位，在最后一趟排序结束前并不产生明确的连续有序区。

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int partition(vector <int>&arr, int low, int high) {
	int base = arr[low];
	int i = low + 1, j = high;
	while (i <= j) {
		while ( i <= j && arr[i] <= base) {
			i++;
		}
		while (i <= j && arr[j] >= base) {
			j--;
		}
		if (i < j) {
			swap(arr[i], arr[j]);
			i++;
			j--;
		}
	}
	swap(arr[low], arr[j]);
	return i;
}
void quicksort(vector <int>& arr, int low, int high) {
	if (low >= high)return;
	int pi = partition(arr, low, high);
	quicksort(arr, low, pi-1);
	quicksort(arr, pi+1, high);
}
int main() {
	vector <int> R;
	int N;
	cin >> N;
	for (int i = 0;i < N;i++) {
		int a;
		cin >> a;
		R.push_back(a);
	}
	quicksort(R, 0, N - 1);
	for (int i = 0;i < N;i++) {
		cout << R[i] << " ";
	}
	return 0;
}

算法分析

最好情况分析：如果初始排序表随机分布，使得每次划分恰好分为两个长度相同的子表，则递归树最小，性能最好，此时排序的时间复杂度为O(nlog2n)。
最坏情况分析：如果初始排序表正序或反序，使得每次划分的两个子表中一个为空，另一个长度为n-1，则递归树的高度最高，性能最差，此时排序的时间复杂度为O(n^2)。
平均情况分析：排序的平均时间复杂度为O(nlog2n)，这接近最好情况，所以快速排序是一种高效的排序方法。

快速排序使用的是递归算法，尽管每一次划分仅仅使用固定的几个辅助变量，但是递归树的高度最好为O(log2n)，对应最好的空间复杂度为O(log2n)，最坏情况下递归树的高度为O(n)，对应最坏的空间复杂度为O(n)。
另外，快速排序是一种不稳定的排序算法。（STL的sort()函数就是使用快速排序实现的，当划分的区间长度较小时，采用直接插入排序，所以sort()是不稳定的，且时间复杂度为O(nlog2n)）

5.堆排序（Heap Sort）

核心思想

堆排序是对选择排序的一种改进，采用二叉树来代替简单的选择方法来找最大或者最小元素，属于一种树形选择排序方法。我们采用数组隐式构建二叉树：

小根堆：根节点小于其两个子节点，即：${k}{i}$$\leq$${k}{2i+1}$ 且 ${k}{i}$$\leq$${k}{2i+2}$，显然此时根节点是最小的。
大根堆：根节点大于其两个子节点，即：${k}{i}$$\geq$${k}{2i+1}$ 且 ${k}{i}$$\geq$${k}{2i+2}$，显然此时根节点是最大的。

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void heapify(vector<int>& arr, int n, int root) {
    int largest = root; 
    int left = 2 * root + 1; 
    int right = 2 * root + 2; 
    if (left < n && arr[left] > arr[largest])
        largest = left;
    if (right < n && arr[right] > arr[largest])
        largest = right;
    if (largest != root) {
        swap(arr[root], arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest);
    }
}
void heapSort(vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
        heapify(arr, n, i);
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        swap(arr[0], arr[i]);
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;

    vector<int> arr(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> arr[i];
    }
    heapSort(arr);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        if (i > 0) cout << " ";
        cout << arr[i];
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

算法分析

堆排序的时间主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间构成，建立初始堆的时间复杂度为O(nlog2n)，后面反复归位元素和重建堆的时间复杂度为O(nlog2n)，因此最好、最坏、平均时间复杂度均为O(nlog2n)。
堆排序只使用了固定的几个辅助变量，其算法的空间复杂度为O(1)，同时是一种不稳定的排序算法。

6.归并排序（Merge Sort）

核心思想

通过多次将两个或两个以上的相邻有序表合并成一个新的有序表。可以分为二路归并、三路归并、多路归并排序。其中二路归并排序又可以分为自底向上和自顶向下两种方法。
二路归并先将R[0...n-1]看成n个长度为1的有序子表，然后在进行两两相邻有序子表的合并，得到n/2个长度为2的有序子表，在进行两两有序子表的合并，以此类推，直到得到一个长度为n的有序表为止。
二路归并时，先将两段有序合并到一个新的局部变量R1中，待合并完成后再将R1复制回R中。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void merge(vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    vector<int> temp(right - left + 1);
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (arr[i] <= arr[j]) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }
        else {
            temp[k++] = arr[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        temp[k++] = arr[i++];
    }
    while (j <= right) {
        temp[k++] = arr[j++];
    }
    for (int p = 0; p < k; p++) {
        arr[left + p] = temp[p];
    }
}

void mergeSort(vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left >= right) {
        return;
    }
    int mid = left + (right - left) / 2;
    mergeSort(arr, left, mid);      
    mergeSort(arr, mid + 1, right); 
    merge(arr, left, mid, right); 
}
int main() {
    int N;
    cin >> N;
    vector<int> arr(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> arr[i];
    }
    mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        if (i > 0) cout << " ";
        cout << arr[i];
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

算法分析

在二路归并排序中，长度为n的排序表需要做log2n趟排序，对应的归并树高度为log2n+1，每趟归并时间为O(n)，故其时间复杂度的最好、最坏、平均情况都是O(nlog2n)。
在归并排序中每次都需要用到局部变量R1，最后一趟的排序一定是全部n个元素参与归并，所以总的辅助空间复杂度为O(n)。
同时Merge算法不会改变相同关键字元素的相对次序，所以二路归并算法是一种稳定的排序方法！

有关冒泡排序、选择排序和sort()函数排序的相关代码在：数据结构实验2中，有兴趣的可以直接传送门！

各种排序方法的比较和选择

排序方法	平均情况	最坏情况	最好情况	空间复杂度	稳定性
直接插入排序	O(n^2)	O(n^2)	O(n)	O(1)	稳定
折半插入排序	O(n^2)	O(n^2)	O(n)	O(1)	稳定
希尔排序	O(n^1.58)	\	\	O(1)	不稳定
冒泡排序	O(n^2)	O(n^2)	O(n)	O(1)	稳定
快速排序	O(nlog2n)	O(n^2)	O(nlog2n)	O(log2n)	不稳定
简单选择排序	O(n^2)	O(n^2)	O(n^2)	O(1)	不稳定
堆排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(1)	不稳定
归并排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(n)	稳定

封面来源：Explaining EVERY Sorting Algorithm (part 1)

Data Structure

#algorithm #sort

Essential Sorting Algorithms Explained

http://example.com/2025/07/24/Data structure/Essential-Sorting-Algorithms-Explained/

作者

Li Qinxuan

发布于

2025年7月24日

许可协议

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